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Master Theorem을 이용하면 재귀적인 구조를 갖는 알고리즘의 시간복잡도를 간단하게 계산할 수 있다. 알고리즘이 시간복잡도 $T(n) = aT(\frac{n}{b}) + O(n^k)$ 으로 표현될때, $T(n)$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ \begin{align} &1. \; a>b^k \quad \Rightarrow \quad T(n) = O(n^{log_{b}{a}})\\ &2. \; a=b^k \quad \Rightarrow \quad T(n) = O(n^k log n)\\ &3. \; a

Introduction 단절점이란 제거했을때 연결되어있던 그래프가 둘 이상으로 나눠지는 그래프를 말한다. 단절점을 가장 naive 하게 구하는 방법은 모든 정점에 대해 그 정점을 제거할 경우 connected component가 증가하는지를 탐색을 통해 확인하면 된다. 이 경우 시간복잡도는 $O(V^2)$ 가 된다. 하지만 단절점의 특징을 사용해서 탐색 한번으로 $O(V)$ 단절점을 구할 수 있다. 단절점 구하기 아래 그림을 보자. 위 그림은 root를 시작점으로 dfs를 도는 중간 과정을 나타낸다. 빨간색 정점 : 현재 보고있는 정점이다. 검은색 간선 : 바로 직전에 타고(?) 온 간선으로 root 쪽에서 왔다는것을 나타낸다. 보라색 정점 : root 쪽에서 이미 탐색을 완료한 정점이다. 파란색 덩어리..

Euler tour technique 이란 트리를 전위 탐색(부모 -> 자식)으로 넘버링 해서 트리를 관리하는 테크닉이다. 이러한 방식으로 트리를 관리하면 트리에서 임이의 서브트리에 대한 쿼리를 쉽게 처리할 수 있다. 트리에 전위 탐색으로 넘버링을 하고, 임의의 노드에 대해 생각해보다. 이 노드를 루트로 하는 서브트리 내에 속하는 모든 정점들은 인접하고 연속하게 넘버링이 되어있다는 것을 알 수 있다. 다음의 사진을 보자. (검정 : node number, 파랑 : 전위 탐색으로 넘버링 된 수) 여기서 2를 루트로 하는 서브트리 내의 모든 정점들에 대해 넘버링 된 수들을 나열해 보면 2, 3, 4, 5, 6 으로 연속한 것을 알 수 있다. 이러한 특성 때문에 오일러 투어 테크닉과 세그먼트 트리 같은 자료구..

Introduction monotone queue 란 deque 의 상태를 증가하거나 감소하도록 유지시켜 수열의 특정 구간에서 최대 또는 최소를 찾는 기법이다. 다음의 문제를 보자. http://boj.kr/11003 우리는 길이가 L 인 연속한 모든 구간들에 대해서 최솟값을 찾아줘야 한다. 물론 가장 naive한 방법으로는 세그먼트 트리를 이용한 방법이 있겠지만, monotone queue 테크닉을 사용하면 O(n)이라는 세그보다 (O(n log n)) 훨씬 빠른 속도로 문제를 풀 수 있다. 최솟값을 구하는 경우 i와 j는 i ar..